Koordinatlarla ilgili bir sistemden söz ettiğimizde, bir manifolddaki noktaların veya diğer geometrik elemanların yerlerini tespit etmek için bir veya daha fazla sayının veya koordinatın kullanıldığı anlaşılır. Koordinatların sırası önemlidir ve bazen sıralı bir dizide sayıyla ve bazen de bir “x koordinatında” olduğu gibi bir harfle konumlarına göre tanımlanırlar. Koordinatlar, ilköğretim matematiğinde gerçek sayılar olarak ele alınırlar, ancak karmaşık sayılar veya değişmeli halka gibi daha soyut bir sistemin elemanları olabilirler. Geometride, bir koordinat sisteminin kullanılması, problemlerin sayılarla ilgili problemlere dönüştürülebilmesini ya da tersini sağlar. Bu analitik geometrinin temelidir.
Koordinat Sistemleri:
Sayı Doğrusu:
Bir koordinat sisteminin en basit örneği, bir çizgideki noktaları gerçek sayılarla tanımlayan sayı doğrusunu kullanmaktır. Bu sistemde, belirli bir çizgide rasgele bir O başnoktası (orijin) seçilir. Bir P noktasının koordinatı, O ile P arasındaki mesafe olarak tanımlanır. İşaretlenmiş mesafe, P noktasının, O başnoktasının hangi yanında bulunduğuna göre, pozitif (sağ) veya negatif (sol) olarak kabul edilir. Seçilecek her bir noktaya özel bir koordinat tanımlanır ve her bir gerçek sayı tek bir noktanın koordinatıdır.
Kartezyen Koordinat Sistemi:
Bir koordinat sisteminin prototipik örneği, Kartezyen koordinat sistemidir. Düzlemde birbirini dik kesen iki çizgi çizilir ve bir noktanın koordinatları çizgilere mesafesine göre işaretlenir. Üç boyutlularda, üç düzlem seçilir ve bir noktanın üç koordinatı, her bir düzlem için işaretli mesafelerle tanımlanır. Bu, n boyutlu Öklid uzayındaki herhangi bir nokta için n koordinatlarını oluşturmak için genelleştirilebilir. Sistem, koordinat ekseninin yönüne ve sırasına bağlı olarak, sağda veya solda bir sistem olabilir.
Kutupsal (Polar) Koordinat Sistemi:
Düzlem için bir başka koordinat sistemi, kutupsal koordinat sistemidir. Kutup olarak bir nokta seçilir ve bu noktadan çıkan bir ışın polar eksen olarak alınır. Belirli bir θ açısında, kutup ekseniyle açısı θ olan kutuptan gelen (eksenden çizgiye doğru saatin tersi yönünde ölçülen) tek bir doğru vardır. Bu doğru üzerinde, orijin ile r arasındaki (r sayısı için r olan) mesafe, tek bir noktayla işaretlenmiştir. Belirli bir koordinat çifti için (r, θ) tek bir nokta bulunmakla birlikte, herhangi bir nokta birçok koordinat çifti tarafından temsil edilir. Örneğin, (r, θ), (r, θ + 2π) ve (−r, θ + π) aynı noktanın kutupsal koordinatlardır. Kutup noktası, herhangi bir θ değeri için (0, θ) ile temsil edilir.
Silindirik Ve Küresel Koordinat Sistemleri:
Kutupsal koordinat sistemini üç boyuta genişletmek için iki yaygın yöntem vardır. Silindirik koordinat sisteminde, Kartezyen koordinatlarındakilerle aynı anlama sahip bir z koordinatı, r ve θ kutupsal koordinatlarına eklenerek, (r, θ, z) elde edilir. Küresel koordinatlar, silindirik (r, z) koordinat çiftini, kutupsal (ρ, φ) koordinatlara dönüştürerek, üçlü (ρ, θ, φ) koordinatlarla bunu bir adım ileriye taşırlar.
Türdeş (Homojen) Koordinat Sistemi:
Düzlemdeki herhangi bir nokta, türdeş koordinatlarda bir üçlü (x, y, z) ile temsil edilebilir. Buradaki, x / z ve y / z, noktanın Kartezyen koordinatlarıdır. Bu, düzlem üzerindeki bir noktayı belirtmek için sadece ikisine ihtiyaç duyulduğundan, “fazladan” bir koordinat demektir. Ancak bu sistem, projektif düzlem üzerindeki herhangi bir noktayı sonsuzluk kullanılmadan belirtmesi açısından yararlıdır. Genel olarak, homojen koordinat sistemi, gerçek değerlerin değil, sadece koordinatların oranlarının önemli olduğu bir sistemdir.
Diğer Koordinat Sistemleri:
Çeşitli alanlarda yaygın olarak kullanılan tüm koordinat sistemlerini burada açıklamak olanağı bulunmadığından, bazılarından kısaca söz edeceğiz:
– Eğrisel Koordinat Sistemi: Koordinat sistemlerinin genelleştirilmiş halidir ve sistem eğrilerin kesişmesine dayanmaktadır.
– Logaritmik – Kutupsal Koordinat Sistemi: Düzlemdeki bir noktayı, orijinden uzaklığının logaritması ve orijinin kesiştiği bir referans doğrusundan ölçülen açı ile belirtir.
– Julius Plücker Koordinatları: Üç boyutlu Öklid uzayındaki doğruları, homojen koordinatlar olarak altı sayılık bir değişkenler grubu kullanarak gösterir.
– Genelleştirilmiş Koordinatlar: Klasik mekaniğin reformülasyonunu yapan Joseph-Louis Lagrange’ın yönteminde kullanılır.
– Kanonik Koordinat Sistemi: Hamiltoniyen mekanik işlemlerinde kullanılır.
– Barisentrik Koordinatlar: Üçlü çizimlerde ve daha genel olarak üçgenlerin analizinde kullanılmaktadır.
Geometrik Nesnelerin Koordinatları:
Koordinat sistemleri, genellikle bir noktanın konumunu belirtmek için kullanılır. Ancak bunlar aynı zamanda çizgiler, düzlemler, daireler veya küreler gibi daha karmaşık figürlerin konumunu belirtmek için de kullanılabilir. Örneğin, Plücker koordinatları boşluktaki bir çizginin konumunu belirlemek için kullanılmaktadır. Gereksinime göre, tarif edilen figür, koordinat sisteminin tipini ayırt etmek için kullanılır.
Bazen, iki farklı geometrik figür kümesi için, farklı koordinat sistemlerinin analizleri açısından eşdeğer olduğu ortaya çıkabilir. Bunun bir örneği, projektif düzlemdeki noktalar ve çizgiler için homojen koordinat sistemleridir. Böyle bir durumla karşılaşıldığında, iki sistemin dualistik olduğu söylenir. Dualistik sistemler, bir sistemin diğerine taşınabilme özelliğine sahiptir, çünkü söz konusu sonuçlar, sadece aynı analitik sonucun farklı yorumlarıdır ve buna dualite ilkesi denilmektedir.
Dönüşümler:
Geometrik figürleri tanımlamak için, çoğu zaman birçok farklı koordinat sistemi olasılığı bulunduğundan, bunların ilişkilerinin doğru anlaşılması önemlidir. Bu ilişkiler, bir sistemdeki koordinatların formüllerini başka bir sistemdeki koordinatlar açısından verebilen koordinat dönüşümleriyle tanımlanır. Örneğin, bir düzlemde, eğer kartezyen koordinatlar (x, y) ve kutupsal koordinatlar (r, θ) aynı orijine sahipse ve kutup ekseni pozitif x ekseni ise, kutupsal koordinatlardan kutupsal koordinatlara koordinat dönüşümü (x = r cosθ) ve (y = r sinθ) şeklinde olacaktır.
Her bijeksiyon ile iki koordinat dönüşümü ilişkilendirilebilir.
Her noktanın görüntüsünün yeni koordinatları, noktanın eski koordinatları ile aynı (haritalamadaki formüller, dönüşümdekilerin tersi) olmaktadır. Ve, her noktanın görüntüsünün eski koordinatları, noktanın yeni koordinatları ile aynı (haritalamadaki formüller, dönüşümdekilerle aynı) olmaktadır.
Koordinatların Doğruları / Eğrileri Ve Düzlemleri / Yüzeyleri:
İki boyutta, koordinat sistemindeki koordinatlardan biri sabit tutulursa ve diğer koordinatın değişmesine izin verilirse, ortaya çıkan eğri bir koordinat eğrisi olarak adlandırılır. Kartezyen koordinat sisteminde, koordinat eğrileri aslında düz çizgilerdir, dolayısıyla doğruları koordine ederler ve spesifik olarak, koordinat eksenlerinden birine paralel çizgilerdir. Diğer koordinat sistemlerinde ise, koordinat eğrileri genel eğriler olabilir. Örneğin, r sabit tutularak elde edilen kutupsal koordinatlardaki koordinat eğrileri, merkezi orijin olan dairelerdir. Kartezyen koordinat sistemi dışındaki Öklid uzayı için koordinat sistemleri, eğrisel koordinat sistemleri olarak adlandırılır. Ancak, bu her zaman geçerli değildir ve örneğin homojen koordinat sisteminde koordinat eğrileri bulunmaz.
Üç boyutta, eğer bir koordinat sabit tutulursa ve diğer ikisinin değişmelerine izin verilirse, sonuçta oluşan yüzey bir koordinat yüzeyi olarak adlandırılır. Örneğin, küresel koordinat sisteminde ρ’nin sabit tutulmasıyla elde edilen koordinat yüzeyleri, merkezi orijin olan kürelerdir. Üç boyutlu uzayda, iki koordinat yüzeyinin kesişimi bir koordinat eğrisidir.
Koordinat Haritaları:
Koordinat haritası kavramı, manifoldlar teorisinin merkezinde yer almaktadır. Bir koordinat haritası, belirli bir alanın alt kümesi için, her noktanın bir koordinat kümesine sahip olduğu koordinat sistemidir. Daha doğrusu, bir koordinat haritası, bir X uzayın açık bir alt kümesinden Rn’nin açık bir alt kümesine, bir homeomorfizmdir. Tüm uzay için tutarlı bir koordinat sistemi bulmak çoğu zaman mümkün değildir. Böyle bir durumda, uzayı kaplayacak bir atlas oluşturmak için koordinat haritaları bir araya getirilir. Böyle bir atlası bulunan uzay bir manifold olarak adlandırılır ve eğer koordinat haritaları birbirleriyle uyumlu ise, o manifold üzerinde bir ek yapı tanımlanabilir.
Yönlenim (Oryantasyon) Tabanlı Koordinatlar:
Geometri ve kinematikte, koordinat sistemleri sadece noktaların doğrusal pozisyonunu tanımlamak için değil, aynı zamanda eksenlerin, düzlemlerin ve katı cisimlerin açısal pozisyonunu tanımlamak için de kullanılır. Örneğin, bir katı cismin oryantasyonu, üç kolonunda üç noktanın Kartezyen koordinatlarını içeren bir oryantasyon matrisi ile temsil edilebilir. Bu noktalar, sistemin eksenlerinin yönünü tanımlamak için kullanılır.
Kaynakça:
– Luther Pfahler Eisenhart, “Coordinate Geometry”, Dover Publications Inc., (2005).
– M.I. Voitsekhovskii, A.B. Ivanov, “Coordinates”, in Encyclopedia of Mathematics, Springer Science&Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, (2001).
Yazar: Oben Güney Saraçoğlu