Euler-Bernoulli ve Timoshenko Kiriş Teorilerinin Karşılaştırılması

Okuma Süresi: 7 Dakika  | Yazdır

Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi

Euler-Bernoulli kiriş teorisi veya diğer adıyla sadece kiriş teorisi, düzgün izotropik bir kirişin elastikliğinin basitleştirilmiş bir ifadesidir. Bu teori ile kirişlerin yük taşıma ve çökme karakteristikleri hesaplanır. İlk kez 1750’de söylenmiştir fakat 19. yüzyıldaki Eiffel Tower ve Ferris Wheel yapılarına kadar geçen süren sürede büyük ölçekte kabul görmemiştir. Bu başarılı örneklerinden sonra ise, hızlıca önemi artmış ve mühendisliğin yapıtaşlarından biri haline gelmiştir. Aynı zamanda ikinci endüstriyel devrimin de tetikleyicilerinden biridir.

Zamanla düzlem teorisi ve sonlu elemanlar analizi gibi ilave analiz araçları geliştirilmiştir fakat, basit kiriş teorisi bilmin ihtiyaç duyduğu en önemli araç olmaya devam etmiştir. Özellikle sivil ve mekanik mühendislik alanlarında büyük önem taşımıştır.

Tarihçe

İlk kiriş teorisi geliştirme girişimi Galileo Galilei tarafından yapılmış fakat çalışmalarıyla buna karşı çıkan Leonardo da Vinci ciddi gözlemleri ile Galilei’yi alt etmeyi başarmıştır. Daha sonra Galileo, Leonardo da Vinci’nin eksik Hooke Kanunu ve calculus teorisi ile yaptığı yanlış bir kabul vesilesiyle onu mağlup etmiş ve ününü geri kazanmıştır.
Bernoulli kirişi adını önemli buluşlara imza atan Jacob Bernolli’den sonra almıştır. Leonard Euler ve Daniel Bernoulli bu kullanışlı teoriyi ortaya koyan ilk kişilerdir. Bu sıralarda bilim ve endüstri alanları farklı taraflara ayrılmıştı ve akademisyenlerin oluşturduğu matematik çözümlere şüphe ile bakılırken pratikte güvenli ve kullanışlı uygulamalara güveniliyordu. Köprüler ve binalar 19. yüzyılda Euler-Bernoulli kiriş teorsinin Eiffel Kulesi gibi büyük ölçekte uygulamaları görülene kadar bilinen yöntemlerle yapılmaya devam etti.
Kiriş Denklemi
Uzun ince tek boyutlu izotropic malzemeden yapılmış kabul edilen bir kiriş için, elastiklik eğrisi şöyle tanımlanır:

11.JPG

Bu Euler-Bernoulli denklemi olarak bilinir. Kirişi x ekseni doğrultusunda bir boyutlu nesne gibi düşünürsek, u(x) eğrisi kirişteki çökmeyi tanımlar. Yayılı yük yani basıncın bir ifadesi olarak belirtilen w ise, x, u ve diğer değişkenlerin bir fonksiyonudur. E elastiklik modülüdür, I ise eylemsizlik modülüdür.
Burada, u = u(x), w = w(x), ve EI sabittir, yani:

21.JPG

Bu denklem düzgün sabit bir kirişte çökmeyi tanımlar ve mühendislik uygulamalarında kullanılan en temel öğelerden birisidir.

Terimlerin anlamları şunlardır:
31.JPG çökmedir.
4.JPG kirişin eğimidir.
5.JPG kirişin eğilme momentidir.
6.JPG kirişteki kayma gerilmesidir.
Bu kiriş kabule göre bir boyutlu nesne olarak tanımlıdır. Kiriş düzgün olmalı ve yayılı yükler düzlem içinde bulunmalı ve burulma olmamalıdır.
Bu sadeye çekme gerilmesi aşağıdaki biçimde tanımlanır:

7.JPG

Buradaki c, u doğrultusundadır ve tarafsız eksenle kuvvetin uygulanma doğrultusundaki mesafesini gösterir. M eğilme momentidir. Kirişin kesitini göz önüne alırsak en üst kısımda çekme, en alt kısımda ise basma gerilmeleri oluşur, bunlar aynı zamanda kirişteki maksimum gerilmelerdir. Kesidin tam ortadan geçen tarafsız eksen bir başka adıyla normal eksende ise, çekme ve basma gerilmesi değeri sıfırdır.

Sınır Şartları
Kiriş denklemi x’e göre türev alınarak hesaplanan en fazla dört sınır şartına sahiptir. Sınır şartları genellikle model destekleri yani onların noktaya etki eden yükleri, momentler ve diğer etkilerden oluşur.

8.JPG
Mesnetli Kiriş

Mesnetli kirişten bir örnek: Tek ucundan hiç hareket etmeyecek şekilde sabit olan kirişin diğer ucu da tamamen serbesttir. Hiç hareket etmeyecek şekilde sabit deyince çökme ve eğimin sıfır, tamamen serbest deyince de kayma kuvveti ve eğilme momentinin sıfır olduğu anlaşılır. EI’nın sabit olduğu durumda, x’in en sol koordinatı sıfır olarak alınır ve en sağ tarafı da L olarak düşünüldüğünde(L kirişin boyu olur) sınır şartları belirlenmiş olur:

9.JPG

En bilinen sınır şartları aşağıdakileri içerir:
10.JPG sabit bir destek olduğunu gösterir.
111.JPG pin bağlantısı olduğunu gösterir. (çökme ve moment sıfırdır).
12.JPG bağlantı ve dolayısıyla yük olmadığını gösterir.
13.JPG uygulama noktasında Fbüyüklüğünde bir kuvvet olduğunu gösterir.

Yükleme Durumu
Uygulama yükü sınır şartları altında veya w’nin fonksiyonu olarak bulunabilir. Yayılı yükleme kolaylık açısından sıklıkla tercih edilir. Sınır şartları modeldeki yüklerin belirlenmesinde ve özellikle titreşim analizlerinde kullanılır.
Nokta yükler modellenirken delta fonksiyonu yardımcı olarak kullanılır. Örneğin sabit mesnetli L uzunluğundaki bir kirişi düşünelim ve bunun serbest ucunun üst noktasına F yükü etki etsin. Sınır şartlarını göz önüne alarak şu şekilde ifade edilebilir:

14.JPG

Fonksiyon olarak,

15.JPG

Kayma gerilmesinin sınır şartları(3. Türev) kaldırıldı, aksi halde burada bir çelişki olurdu. Bunlar aynı sınır değeri problemleridir ve her ikisi de aynı sonuca çıkar:

16.JPG

Birkaç noktasal yükün farklı bölgelerde yüklendiği uygulamalarda u(x) önemli bir fonsiyona sahiptir. Bu fonksiyonun kullanımı durumu çok basite indirger, aksi taktirde kiriş her biri 4 farklı sınır şartına sahip olan bölümlere ayrılmak zorunda olurdu.
Akıllı formülasyon ile birçok farklı yük ve bu yüklerin oluşturduğu ilginç problemler rahatlıkla çözümlenebiliyor. Bunun örneği olarak, kirişteki titreşimler yükün bir fonksiyonu olarak kullanılarak hesaplanabilir:

17.JPG

Burada μ kirişin doğrusal yoğunluğudur ve kesinlikle bir sabit değildir. Bu zamana bağlı yük değişikliği denklemi kısmi diferansiyel bir eşitlik haline getirir. Bir başka ilginç örnek ise, kirişteki dönme hareketinin sabit açısal hız ω ile tanımlanmasıdır:

18.JPG

Timoshenko Kiriş Teorisi

Bu teori kirişteki kayma ve dönmenin oluşturduğu eylemsizlik momentini faktörlerinin Euler-Bernoulli teorisine ilave edilmişidir yani bir bakıma daha geliştirilmişidir. Kirişteki kayma gerilmeleri eğilme esnasında nesnenin iç yapısındaki deformasyonlar sebebiyle titreşimi sonucunda ortaya çıkar. Bu enine titreşimler, kirişe uygulanan dış kuvvetlere yani bunun oluşturduğu torka ve kirişin malzeme özelliklerine bağlıdır. Kirişte kayma etkilerinin göz önüne alınması için efektif bir kayma alanına ihtiyaç vardır. Timoshenko’nun kayma faktörü (k>1) bu alanı kA şeklinde ifade eder.

Timoshenko teorisinde hesaplamalar yapılırken kayma ve eylemsizlik momenti de göz önüne alındığından sonuç Euler-Bernoulli teorisine göre her zaman daha büyük çıkar. Timoshenko teorisi gerçeğe daha yakın sonuçlar veren bir teoridir. Özellikle büyük kesitli çok daha isabetli sonuçlar verdiğinden bu teori, kalın kiriş teorisi olarak bilinir. Euler-Bernoulli teorisi ise, tam tersi yönde yani ince kiriş teorisi olarak bilinmektedir. Bu iki teoriyle çözülen kiriş problemlerinde kiriş uzunluğu(L)’nin kesit yüksekliği(h)’a oranı büyüdükçe sonuçlar birbirine yaklaşır. Yani kesin olarak diyebiliriz ki, L/h oranı küçük olan problemlerde Timoshenko çok daha doğru sonuçlar vermektedir.

19.JPG
Timoshenko teorisinde ise,

20.JPG

şeklinde hesaplanır.

211.JPG

K:Timoshenko kayma katsayısı (〖Dikdörtgen kesit için: π〗^2/12≅0,822)

E:Elastiklik modülü

G:Kayma elastiklik modülü

Sonuç

Timoshenko ve Euler-Bernoulli teorileri genel olarak kirişlerdeki sehim ve gerilmelerin hesaplandığı denklemlerden oluşur. İki teori de aynı amaca hizmet ederler. Temelde her iki teori de aynı amacı hizmet ediyor olsa da aralarında belli başlı farklılıklar bulunmaktadır ve bu farklılıkları şöyle izah edebiliriz.

Bu teorileri tek taraftan mesnetli basit bir kiriş düzeneğinde düşünürsek, kirişin serbest ucundan uygulanan tekil bir yük için Euler-Bernoulli teorisinde sadece bu kuvvetin oluşturduğu momentten kaynaklanan eğilme hesap edilir. Timoshenko teorisinde ise, bu kuvvetin oluşturduğu momentin yanı sıra kirişte malzemede kaynaklanan deformasyonlar ve dikey kuvvetler sebebiyle oluşan kayma gerilmeleri ve eğilme sonucunda dönme etkisiyle ortaya çıkan eylemsizlik momenti de hesaba katılır. Bu nedenle Timsohenko teorisiyle bulunan bir problem çözümünün mutlaka Euler-Bernoulli teorisine göre daha doğru sonuçlar vermesi beklenir. Burada başka bir çok önemli nokta vardır ki o da, Timoshenko teorisinin kalın kirişlerde 6 kata kadar daha büyük ve doğru sonuç vermesidir. Bu nedenle Timoshenko teorisi “kalın kiriş teorisi” olarak da bilinir. Kiriş inceldiğinde ise, iki teori arasındaki sonuç farkı azalmaktadır ve ince kirişlerde nispeten çok yakın sonuçlar alınmaktadır.