Nesnelerin düzenli biçimde birbirlerini izlemeleriyle gelişen bir bütün, örneğin bir duvar oluşturmaları gibi, sayıların da bir kurala bağlı olarak oluşturdukları örüntüye sayı örüntüsü denilmektedir. Bir virgülle ayrılmış sayıların art arda dizilmelerine ise “sayı dizisi” denilir ve bir sayı dizisindeki her sayı, “dizinin terimi” olarak adlandırılır. Örneğin, “1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21,…” sayı dizisi, ikişer ikişer artan ve tek sayılardan oluşan bir dizidir. “1, 3, 9, 27, 81, 243, 729,…” ise üçe katlanan sayılardan oluşan bir sayı dizisidir.
Aritmetik Sayı Dizisi
Ardışık iki teriminin arasındaki “fark” sabit bir sayı olan diziye aritmetik dizi denilmektedir. Örneğin, ardışık terimleri arasındaki fark sabit olduğundan, tek sayılar dizisi aritmetik bir dizidir. Ardışık terimleri arasındaki fark ise dizinin “ortak farkı”dır. “1, 3, 5, 7,…” tek sayılar dizisinin herhangi bir teriminden bir önceki terimin çıkartılmasıyla bulunan ortak farkı “2”dir.
Aritmetik Sayı Dizisinin Genel Teriminin Bulunması
Örneğin, ortak farkı 5 olan (beşer beşer artan) bir aritmetik sayı dizisindeki terimler:
Birinci terim: 1
İkinci terim: 1 + 5 = 6
Üçüncü terim: 1 + 5 + 5 = 11
Dördüncü terim: 1+ 5 + 5 + 5 = 16
Beşinci terim: 1 + 5 + 5 + 5 + 5 = 21
biçiminde birbirini izler. Yani, dizinin ilk terimi olan “1”e, dizinin ortak farkı olan 5 sayısını, bulmak istediğimiz genel terimin bir eksiği kadar ilave etmiş oluyoruz. Bu durumda, örneğin dizinin altıncı terimini bulmak istediğimizde:
Altıncı terimi, 1 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 yani 1 + 5 x 5 yani 1 + 25 = 26 olarak buluyoruz.
Büyük sayılardan oluşan uzun dizilerde böyle bir hesaplama giderek güçleşeceğinden, bir genel terim formülü gereklidir. Eğer ilk terimine a1 ve ortak farkına f dersek,
an = a1 + (n-1) . f
formülüne ulaşırız.
Geometrik Sayı Dizisi
Ardışık iki teriminin arasındaki “oran” sabit olan sayı dizisine geometrik dizi denilmektedir. Bir geometrik dizinin ardışık iki teriminin arasındaki oran, o dizinin “ortak çarpanı”dır. Örneğin, “1, 3, 9, 27,…” geometrik dizisinin ortak çarpanı 3’tür. Ortak çarpanı bulmak için, dizinin herhangi bir terimi bir önceki terime bölünür.
Geometrik Sayı Dizisinin Genel Teriminin Bulunması
Ortak çarpanı 2 olan bir geometrik sayı dizisi oluşturursak:
Birinci terim: 1
İkinci terim: 2 = 1 x 2
Üçüncü terim: 4 = 1 x 2 x 2
Dördüncü terim: 8 = 1 x 2 x 2 x 2
biçiminde devam eder. Beşinci terimi bulmak istersek yapacağımız işlem dizinin ortak çarpanını terim sayısının bir eksiği kere çarpmaktır. Yani, 1 x 2 x 2 x 2 x 2 = 16 sonucunu buluruz. Ancak, büyük sayılardan oluşan uzun dizilerde bu hesaplama giderek güçleşeceğinden, bir genel terim formülü gereklidir. Eğer ilk terimine a1 ve ortak çarpanına r dersek,
an = a1 . r(n-1)
formülüne ulaşırız.
Özel Sayı Örüntüleri
Üçgensel Sayılar:
1’den n’ye, doğal sayıların toplamı biçiminde yazılabilen sayıların oluşturduğu diziye, “üçgensel sayılar” dizisi diyoruz. Örneğin,
3 = 1 + 2 olduğundan 3 bir üçgensel sayıdır.
6 = 1 + 2 + 3 olduğundan 6 bir üçgensel sayıdır.
Örüntüyü yazarsak: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, dizisi ortaya çıkar.
Karesel Sayılar:
Herhangi bir tam sayının karesi olan sayılardan oluşan diziye “karesel sayılar” dizisi denilir. Örneğin,
1 = 12 olduğundan 1 karesel sayıdır.
4 = 22 olduğundan 4 karesel sayıdır.
9 = 32 olduğundan 9 karesel sayıdır.
Örüntüyü yazarsak: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, dizisi ortaya çıkar.
Fibonacci Sayıları:
Avrupa’da, Roma rakamlarının yerine Hint- Arap rakamlarının (ondalık sistemin) kullanılmasını, 1202 yılında tamamladığı “Liber Abaci” (Abaküs Kitabı ya da Hesap Kitabı) ile önerip, yaygınlaşmasını sağlayarak tüm bilimsel gelişmelerin hız kazanmasında çok önemli bir etkisi olan Pisa doğumlu ünlü İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci’nin (1170 – 1250) adıyla anılan Fibonacci sayı dizisi, sıfır ve birle başlayıp, her ardışık terimi önceki iki terimin toplanmasıyla bulunarak,
0, 1, 1 (1 + 0), 2 (1 + 1), 3 (2 + 1), 5 (3 + 2), 8 (5 + 3), 13 (8 + 5), 21 (13 + 8)…
biçiminde devam eder.
Pascal Üçgeni:
Ünlü Fransız matematikçi, fizikçi ve filozof Blaise Pascal’ın (1623 – 1662) adıyla bilinen (onun doğumundan yaklaşık 700 yıl önce Çinliler tarafından bulunmuş olsa da) Pascal üçgeninde, sayılar aşağıya doğru toplanarak genişlemekte ve piramit biçiminde bir sayı üçgeni oluşturmaktadır.
Kenarları 1’lerden oluşan bu üçgende, her satırdaki yan yana olan iki sayının toplamı, bu sayıların ortasına gelecek biçimde altlarındaki satıra yazılır. Örneğin, ikinci satırdaki iki tane 1’in toplamı 2 olduğu için üçüncü satırın ortasına 2 yazılır. Pascal üçgeninin her satırındaki sayılar incelendiğinde, belirli bir n değerinin karşılığı olan bütün binom katsayıları bulunabilir. Bu da binom açılımlarının yapılmasını çok basit hale getirmektedir:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Pascal üçgeninin ilginç özellikleri arasında, simetriye sahip olmasını, Fibonacci ve Mersenne sayılarının da bulunabilmesini sayabiliriz.
Kaynakça:
– Ileana Toma, Valerica Mosnegutu, Stefania Constantinescu, “Sequences and series: An Introduction, with applications and exercises”, CreateSpace Independent Publishing Platform.
– Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann, “The Fabulous Fibonacci Numbers”, Prometheus Books.
– Jason VanBilliard, “Pascal’s Triangle: A Study in Combinations”, CreateSpace Independent Publishing Platform.
Yazar: Oben Güney Saraçoğlu