Olasılık Teorisi Nedir?

Matematikte, olasılık, bir olayın gerçekleşebilme ölçüsüdür. Olasılık, her zaman 0 ile 1 arasında bir sayı olarak ölçülür. Buradaki “0” olayın olma olasılığının imkansızlığını, “1” ise kesinliğini gösterir. Bir olayın olasılığı arttıkça, gerçekleşme şansı daha yüksektir. Örneğin, madeni bir para havaya atılıp yere düştüğünde, yalnızca iki yüzü olduğu için, yazı (rakam) veya tura (ünlü kişinin resmi) gelmesi, her ikisi için de aynı derecede olasıdır. “Yazı” olasılığı, “tura” olasılığına eşittir ve başka hiç bir sonuç mümkün olmadığından, olasılık 1 / 2’dir (bu da % 0.5 veya % 50 olarak yazılabilir).

Bu kavramlar, matematik, fizik, istatistik, finans, yapay zeka ve makine öğrenmesi, bilgi işlem, oyun teorisi, felsefe (örneğin, beklenen olay sıklığı hakkında çıkarımlar yapmak amacıyla) gibi çok çeşitli alanlarda yaygın olarak kullanılan olasılık teorisinde, aksiyomatik bir matematiksel biçimselleştirme oluşturmaktadır. Olasılık teorisi, aynı zamanda karmaşık sistemlerin dinamik analizinde, iletimleri (hareket ve güç) ve düzenlilikleri belirlemek için de kullanılmaktadır.

Olasılık teriminin iç içeleşmiş birkaç anlamı vardır. Tarihsel olarak Latince “probabilitas”tan gelir, kesinlik kavramının karşıtıdır; aynı zamanda bir olayın olasılıklarının bir değerlendirilmesidir, yani, olayın kesinlik derecesinin bir değerle temsil edilmesi mümkündür. Olasılık kavramından önce, on ikinci yüzyılda, ticari sözleşmelerin değerlendirilmesi amacıyla “risk” kavramı ortaya çıktı ve on altıncı yüzyılda, deniz sigorta sözleşmelerinin genelleştirilmesiyle gelişti.

On altıncı yüzyılda, Gerolamo Cardano’nun, olumlu sonuçların olumsuz sonuçlara oranını ele almasıyla başlayan ve Fermat, Pascal ve Huygens tarafından geliştirilen (Huygens’in, 1657 yılında yayınladığı zar oyunları üzerine “De ratiociniis in ludo aleae” kitabı olasılıklarla ilgili ilk önemli kitaptır) giderek bir matematik dalına dönüşen “olasılıklar”, sayısal olarak, beklenen sonuçların sayısının, toplam sonuç sayısına bölünmesiyle bulunur. Örneğin, madeni paranın iki kez havaya atılması, “tura – tura”, “tura – yazı”, “yazı -tura” ve “yazı – yazı” sonuçlarını verir. Burada, “tura – tura” sonucunun olasılığı, 4 sonuçtan 1’i, yani 1 / 4 veya 0,25 ya da % 25’tir. Ancak, uygulamalarda, iki önemli olasılık yorumu kategorisi vardır ve olasılıkların temel doğası üzerine farklı görüşler ileri sürmektedir:

Nesnel Olasılık Ve Göreli Sıklık:

Nesnelciler, sayıları, nesnel veya fiziksel olasılık durumlarının ifade edilmesinde kullanırlar. “Objektif olasılık”çılar, bir olayın olma olasılığının, sonucun göreli sıklığının olayın tekrarıyla ilişkili olduğunu ileri sürer. Bu yaklaşıma göre, olasılıklar, göreli sıklığın “uzun vadedeki” sonuçlarıdır. Örneğin bir fabrikada üretilecek ürünün kusurlu olup olmayacağı gibi çıktıları eşit olasılıklı olmayan olaylarda, olayın çok sayıda tekrarlanması ile göreli sıklıklar elde edilmekte ve bunlardan yararlanılarak da yaklaşık olasılıklar hesaplanmaktadır. Söz konusu yaklaşımın farklı bir biçimi, olasılığın, bir olay sadece bir kez gerçekleşse bile, belirli bir sonuca ulaşma eğilimi göstermesi üzerinde duran “eğilim olasılığı”dır. Bir olay n kere yinelenmiş ve f kere bir A sonucu gözlenmiş ise yaklaşık olasılık için göreli sıklık

P (A) = f / n

formülüyle bulunur.

Öznel Olasılık:

Öznelciler, sayıları, öznel olasılıklarda yani kanıların ifadesinde kullanırlar. Sonuçları eşit olasılıklı olmayan ve yeni veri elde etmek için de tekrarlanamayan olaylarda hesaplanan bu “sübjektif olasılığın” en popüler versiyonu “Bayes olasılığı”dır ve olasılık hesaplarında uzman bilgisini ve kişisel deney verilerini içerir. Burada uzman bilgisi, bazı (öznel) ön olasılık dağılımlarıyla temsil edilir. Veriler bir olası olma fonksiyonuna dahil edilirler ve olasılık hesabı bilinen tüm bilgileri içeren bir sonsal olasılık dağılımı ile sonuçlanır. Aumann teoremi açısından, etkenleri benzer olan Bayes olasılıkları, benzer kanılarla sonuçlanacaktır. Bununla birlikte, farklı öncelikler, paylaşılan bilgi ne olursa olsun, farklı sonuçlara yol açabilir. Öznel olasılık tahminde bulunan kişinin özelliklerinden, taraflılığından ve kişisel beğenilerinden etkilenir.

Olasılıkların Matematiksel İfadesi:

Matematikte, olasılık, bir olayın sonunda ortaya çıkabilecek durumları ifade eder ve bu durumların her biri “çıktı” olarak adlandırılır. Olasılık, P ile gösterilir. Basit (tek bir çıktısı olan ve başka olaylara ayrıştırılamayan) bir E i olayının olasılığı P (E i ), bileşik (iki ya da daha çok basit olaydan oluşan) bir A olayının olasılığı ise P (A) şeklinde gösterilmektedir.

Olasılık daima 0 ve 1 aralığında yer aldığından, bir olay basit de olsa bileşik de olsa, olasılığı sıfırdan az ya da birden çok olamaz. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:

0 ≤ P (E i) ≤ 1

0 ≤ P (A) ≤ 1

Meydana gelmeyen bir olayın olasılığı “0”dır ve olanaksız olarak tanımlanır. Olma olasılığı “1” olan bir olaya ise kesin adı verilir:

P (M) = 0 ; (M: olanaksız)

P (C) = 1 ; (C: kesin)

Basit olayların olasılıklarının toplamı ∑ P (Ei) biçiminde gösterilir ve her zaman “1”dir.

∑ P (E i ) = P (E i) + P (E 2) + P (E 3) +…………… = 1

Bu özellikten yararlanarak madeni paranın bir kez atılması

P (Y) + P (T) = 1 şeklinde,

iki kez atılması ise

P (Y Y) + P (Y T) + P (T Y) + P (T T) = 1 şeklinde gösterilir. (Y: Yazı, T: Tura)

Bir Olayın Olma Olasılığı:

Klasik hesaplama, bütün sonuçları eşit olasılıklı olayların sonuçlarıyla ilgili olasılıkları hesaplanmasında kullanılır. Basit bir olayın olma olasılığını bulmak için “1” toplam sonuç sayısına bölünür. Bir olayın çıktılarının olasılıklar toplamı “1”dir ve tüm sonuçlar eşit olasılıklıdır. Bir bileşik olayın olasılığı da, içerilen çıktı sayısının toplam çıktı sayısına bölünmesiyle elde edilir:

P (E i) = 1 / Olayın toplam çıktı sayısı

P (A) = A bileşik olayında içerilen çıktı sayısı / Olayın toplam çıktı sayısı

olarak hesaplanır.

Herhangi bir olayın olma olasılığı, istenen durum sayısının, olası durum sayısına oranıdır. Örneğin, atılan bir zarın üst yüzüne çift sayı gelme olasılığını hesaplarsak:

Olası durumlar 1, 2, 3, 4, 5, 6’dır.

İstenen durumlar 2, 4, 6’dır.

Olasılık = İstenen durum sayısı / Olası durum sayısı = 3 / 6 = 1 / 2’dir.

Eşit Olasılıklı Olaylar:

İki olayın çıktı sayıları eşit ise, bunlara eşit olasılıklı olaylar denilir. Örneğin, atılan bir zarın üst yüzüne asal sayılardan birinin (2, 3, 5) gelme olasılığı ile çift sayılardan birinin (2, 4, 6) gelme olasılığı aynıdır. Her iki olayın da 3’er sayıdan oluşan çıktıları eşit olduklarından, bunlar eşit olasılıklı olaylardır.

Eş Olasılıklı Olaylar:

Bir olayın çıktılarının her birinin olasılıkları eşit ise, bunlara eş olasılıklı olaylar denilir. Eş olasılıklı olaylarda toplam çıktı sayısı n ise, her bir çıktının olma olasılığı 1 / n’dir. Örneğin, üzerlerinde A, B, C, D, E yazılı 5 kartın konulduğu bir kutudan rastgele bir kart seçildiğinde, her harfin çekilme olasılığı 1 / 5’tir.

Koşullu Olasılıklı Olaylar:

Bir E örnek uzayında, A olayı ve B olayı olmak üzere iki olay varsa ve B olayı gerçekleşmişse, A olayının gerçekleşme olasılığına, A olayının B koşullu olasılığı denir ve P (A / B) biçiminde gösterilir ve

P (A / B) = P (AÇB) / P (B) ‘dir.

Kaynakça:
– Sylvie Méléard, “Aléatoire – Introduction à la théorie et au calcul des probabilités”, Éditions de l’École Polytechnique, (2010).<br /><br />
– Gilbert Saporta, “Probabilités, Analyse des données et Statistiques”, Paris, Technip, (2006).

Yazar: Oben Güney Saraçoğlu

Yorum Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This div height required for enabling the sticky sidebar
Ad Clicks : Ad Views : Ad Clicks : Ad Views : Ad Clicks : Ad Views : Ad Clicks : Ad Views : Ad Clicks : Ad Views :